Criterios ó propiedades

Criterios ó propiedades de la Distribución de Poisson

Ø     Se da un intervalo de medida que divide un todo de números reales y donde el conteo de ocurrencias es aleatorio. Esa división puede ser un su intervalo de medida.

Ø     El número de ocurrencias ó de resultados en el intervalo ó sub-intervalo de medida, es independiente de los demás intervalos ó sub-intervalos. por eso se dice que el proceso de Poisson no tiene memoria.

Ø     La probabilidad de que un solo resultado ocurra en un intervalo de medida muy corto ó pequeño es la misma para todos los demás intervalos de igual tamaño y es proporcional a la longitud del mismo ó al tamaño de medida.

Ø     La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo ó sub-intervalo corto es tan pequeña que se considera insignificante (cercana ó igual a cero).

Ø     Esperanza: E(X) = λ.

Ø     Varianza: V(X) = λ.

Ø     En esta distribución la esperanza y la varianza coinciden.

Ø     La suma de dos variables aleatorias independientes con distribución de Poisson resulta en una nueva variable aleatoria, también con distribución de Poisson, de parámetro igual a la suma de parámetros.

X1 ~ P (λ = λ1)    y    X2 ~ P (λ = λ2)

y definimos    Z = X1 + X2, entonces, Z ~ P (λ = λ1 + λ2)

Este resultado se extiende inmediatamente al caso de “n” variables aleatorias independientes con distribución de Poisson. En este caso, la variable suma de todas ellas sigue una distribución de Poisson de parámetro igual a la suma de los parámetros.

Procesos que se ajustan a los criterios de Poisson

Sea  “X” una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren con igual rapidez en un intervalo de medida. Se tiene entonces que la función de probabilidad de esta variable, se expresa por:

Donde es parámetro de tendencia central de la distribución y representa el número promedio ó cantidad esperada de ocurrencias (éxitos) del evento aleatorio por unidad de medida ó por muestra; e=2,71828 y  x=Número de ocurrencias especificas para el cual se desea conocer la probabilidad respectiva. Según sea el valor de , se define toda una familia de probabilidades de Poisson. La probabilidad de que una variable aleatoria de Poisson X sea menor ó igual a un valor de X se halla por la función de distribución acumulativa, planteada entonces como:

Los resultados de las probabilidades individuales para valores de “X”serán más pequeños conforme la variable aleatoria toma valores cada vez más grandes. La distribución de Poisson parte de la distribución binomial. Cuando en una distribución binomial se realiza el experimento muchas veces, la muestra “n” es grande y la probabilidad de éxito “p” en cada ensayo es baja, es aquí donde aplica el modelo de distribución Poisson.

 Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro producto dado.